Paul Lombardi - theory - Invariances in the 16 Rotational Arrays from <i>Requiem Canticles</i>

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A Brief Introduction to Atonal Music Theory for Scientists and Mathematicians

Precomposition in Stravinsky's 12-tone Music

Invariances in the 16 Rotational Arrays from Requiem Canticles

Boulez, Structures 1a Hypercube

Invariances in the 16 Rotational Arrays from Requiem Canticles

After each PC set, the rotational arrays in which they occur are listed. H and V are used for horizontal and vertical respectively, followed by the coordinate within the array (the top-left corner of the array is coordinate 0, 0). These invariances are based on the serial-correct version of the rotational arrays as shown under Precomposition in Stravinsky's Twelve-Tone Music.

Trichords (162)

012

1P^β H 3, 2

1P^β V 3, 2

1I^β H 0, 3

1R^β H 1, 3

1IR^β H 3, 1

1IR^β H 4, 2

2P^α H 5, 3
013

1P^β H 5, 1

1I^β H 1, 3

1R^β H 2, 1

2R^α V 2, 5
016

1P^β V 0, 1

1I^β V 0, 5

1I^β V 1, 5
017

1I^β H 5, 3

1IR^β H 5, 2

1IR^β V 2, 2
018

2I^α H 0, 3

2I^β V 2, 2

2I^β V 3, 2
019

2R^α V 3, 5

2IR^β V 3, 1
01A

1P^β H 3, 1

1P^β V 3, 1

1IR^β H 3, 0

2R^β H 5, 1
01B

1P^β H 5, 0

1R^β H 2, 2

1R^β V 0, 4

1IR^β H 5, 1

2I^α H 0, 2

2R^α H 4, 3

2IR^α H 1, 0
023

1I^α H 5, 3

2P^α H 5, 2
024

1R^α H 2, 1

2IR^β H 5, 2
025

1P^β V 2, 2

2IR^β H 5, 3
026

1R^β V 0, 3

1R^β V 1, 3

2P^β V 0, 3

2R^β H 3, 1
027

2I^β H 3, 3

2I^β V 2, 5

2R^β H 3, 0

2IR^β H 3, 0
028

1R^α H 1, 3

1IR^β V 2, 3

2P^β V 1, 3

2P^β V 2, 3

2P^β V 3, 3

2I^β H 3, 2

2IR^β H 3, 1
029

1P^β H 0, 1

1R^α H 5, 1

1R^β H 0, 2

2P^β H 5, 2

2I^α H 3, 2

2R^β H 5, 3
02A

1R^α H 1, 2

2P^β H 5, 3

2R^β H 5, 2
02B

1P^β H 0, 0

1R^α H 5, 2

1R^α V 1, 3

1R^α V 2, 3

1R^β H 0, 3

1IR^β H 4, 1
034

2P^α V 0, 1

2I^α V 1, 5
035

1P^β H 4, 3

1IR^α V 0, 5

2P^β H 4, 3
036

2R^α V 1, 5

2R^β H 3, 2
037

2I^α H 1, 3

2IR^α H 5, 0
03B

1R^α H 5, 3

2I^α V 0, 4
045

1P^α H 4, 0

2I^α H 3, 0

2I^β V 1, 4

2I^β V 2, 4

2IR^α H 0, 0
049

1P^β V 2, 5

1P^β V 3, 5

1I^β V 1, 1

1I^β V 2, 1

2I^α H 3, 1
04A

1R^α V 1, 4

2P^α V 2, 2

2P^β H 4, 1
04B

2R^α H 4, 2

2R^β V 1, 2

2R^β V 2, 2

2IR^β V 3, 4
056

1IR^α V 1, 5

2R^α V 3, 3
058

1P^β V 1, 2

1I^β V 3, 4
059

1R^β V 1, 5

1R^β V 2, 5

1IR^β V 0, 1

1IR^β V 1, 1

2P^α H 4, 0

2R^β V 2, 5

2R^β V 3, 5

2IR^β V 1, 1

2IR^β V 2, 1
05A

2P^β H 4, 2

2P^β V 3, 4

2I^β H 4, 2

2I^β V 3, 4

2R^α V 2, 3

2R^β V 1, 5

2IR^β H 2, 1

2IR^β V 0, 1
05B

1R^α V 1, 1

1R^α V 2, 1

1R^β V 3, 5

1IR^β V 2, 1

2P^α H 0, 0

2R^α H 0, 3
067

1P^α V 2, 1

1I^α V 3, 5

1R^β H 4, 3

2P^α H 4, 2
068

1R^β V 2, 3

1IR^α H 1, 3

2P^α V 3, 4

2P^β H 2, 3

2I^α V 1, 2

2R^β V 3, 3

2IR^β V 0, 3

2IR^β V 1, 3

2IR^β V 2, 3
069

2P^β H 2, 2

2I^β H 4, 0

2IR^β H 2, 3
06A

2I^α V 2, 2

2I^β H 4, 1

2IR^β H 2, 2
06B

1R^α V 0, 1

1IR^β H 0, 1

2IR^α H 3, 0
079

1P^α V 3, 1

1I^β H 5, 2

1IR^β H 5, 3

2P^α H 4, 1

2R^α V 0, 4
07A

1R^α H 4, 2

1R^α V 0, 4

2I^α V 3, 2

2IR^α H 4, 0
08A

2I^β H 5, 3

2R^β H 4, 3
09A

1I^β H 3, 1

1I^β V 3, 1

1R^α H 4, 3

2IR^α H 2, 0
09B

1R^β H 2, 3

1R^β V 0, 5

2P^α H 0, 1

2P^β H 2, 1

2R^α H 0, 2
0AB

1P^β H 3, 0

1I^β H 3, 0

1IR^β H 0, 0

1IR^β H 4, 0

2R^β V 3, 2
123

1P^β H 4, 1

1I^β H 1, 2

1I^β H 2, 3

2R^α H 1, 0

2IR^α H 4, 3
124

1P^α H 1, 1

1P^β H 3, 3

1R^β H 1, 2

1IR^β H 3, 2

2I^α V 3, 1

2IR^β H 5, 1
125

1P^α H 1, 0

2R^β V 3, 1

2IR^α V 3, 5
127

2P^α V 3, 3

2I^α V 0, 3
128

1I^β H 0, 2

1I^β V 0, 4

1I^β V 1, 4

1IR^β H 4, 3
129

1R^α H 5, 0

2IR^α H 3, 3
12B

1P^β H 4, 0

2P^β H 3, 0

2IR^α V 2, 5
134

2R^α H 1, 1

2R^α V 1, 1
135

1R^α H 3, 0

1IR^α H 0, 3
137

1P^β V 1, 3

1P^β V 2, 3

1I^α H 2, 3

2IR^α V 2, 4
138

2P^α V 1, 3

2P^β H 0, 0

2I^β H 5, 1

2R^β H 0, 3
139

1P^α V 0, 5

1I^β V 0, 3

2I^β H 5, 0
13A

1P^β H 5, 2

1I^α V 3, 1

1R^β H 2, 0

2I^α H 4, 1
145

1IR^α H 0, 2

1IR^α V 2, 2
146

1P^α H 0, 3

1R^α H 0, 0

2P^β H 1, 0
147

1R^β V 1, 2

1R^β V 3, 4

1IR^β V 1, 2

1IR^β V 3, 4

2P^α V 3, 5

2I^α V 2, 1

2IR^β H 5, 0
149

1R^β V 0, 2

1IR^β V 2, 4

2IR^β V 0, 5
14A

2P^β H 4, 0

2I^β H 2, 2

2R^α V 0, 1

2IR^α V 0, 1
15A

2I^α H 4, 0

2R^β V 0, 5
167

1P^α V 0, 1

1P^α V 1, 1

1I^α V 1, 5

1I^α V 2, 5
16A

1P^β V 1, 1

1P^β V 2, 1

1I^β V 2, 5

1I^β V 3, 5

2P^α H 3, 1
178

1P^β H 1, 1

1R^β H 5, 2

1R^β V 2, 2

2P^α H 3, 3

2P^α V 2, 3
179

1P^β V 0, 3

1I^α V 0, 5

1IR^α H 4, 0

2P^β H 5, 0

2R^α V 1, 4
17B

1R^α H 4, 0

2R^α V 2, 4
18A

1I^β H 0, 1

1IR^α H 4, 2

1IR^α V 0, 4

2P^α H 3, 2

2I^β H 5, 2
18B

1P^β H 1, 0

1R^β H 5, 3

2R^α V 3, 4
19B

2P^β H 2, 0

2I^β H 2, 0
1AB

1R^α H 1, 0

1IR^β H 5, 0

2I^α H 0, 1

2I^β H 2, 1

2IR^α H 1, 1

2IR^α V 1, 1
234

1IR^β H 3, 3

2P^α H 1, 1

2IR^β V 3, 2
235

1P^β H 4, 2

1I^β H 2, 2

2IR^α H 0, 2
237

1I^α H 2, 2

1R^α V 3, 2

2P^α H 1, 2
238

1P^α V 0, 2

1I^α V 2, 4

1R^α V 1, 5

2P^α H 5, 1

2R^α H 3, 0
239

1I^β H 1, 1

1R^α V 2, 5

1R^α V 3, 5

2I^α H 3, 3

2I^α V 2, 3

2IR^α H 0, 3
23A

1R^α H 2, 3

2R^β V 3, 4

2IR^α H 4, 2

2IR^β V 1, 2

2IR^β V 2, 2
23B

1I^α H 5, 2

1I^α V 1, 4

1R^α V 0, 3

2I^α V 1, 4

2I^β V 0, 5
245

1I^α H 2, 0

1IR^α H 0, 1

2P^α H 1, 0

2P^β H 1, 2

2R^α H 2, 0
246

1P^α H 4, 2

1I^α H 3, 3

2P^β H 1, 1

2I^β H 0, 2

2IR^β H 4, 3
247

1I^α H 2, 1

1IR^α H 0, 0

2I^β H 0, 1

2R^α H 4, 0
248

1P^α V 1, 2

1P^α V 2, 2

1I^α H 3, 2

2R^β H 2, 2
249

2P^β V 1, 2

2R^β H 2, 1

2R^β V 0, 1

2IR^α V 2, 3

2IR^β V 1, 5
24A

1R^α H 2, 2

2P^α V 1, 2

2I^α V 3, 4

2I^β H 2, 3
24B

1P^α H 1, 2

1P^α V 3, 2

1R^α H 3, 3

1R^β H 1, 1

2P^α V 0, 2

2I^α H 2, 3

2I^α V 2, 4
257

1P^α H 3, 0

2I^α H 5, 0

2IR^α V 0, 4
258

1P^β V 0, 2

1P^β V 2, 4

1I^β V 0, 2

1I^β V 2, 4

2R^β H 2, 3
259

2R^β V 1, 1

2R^β V 2, 1

2IR^β V 2, 5

2IR^β V 3, 5
25A

1P^β V 3, 4

1I^β V 1, 2
267

1P^α H 3, 1

2I^α H 2, 1
268

1P^α H 3, 2

1I^α V 1, 2

1I^α V 2, 2

1IR^β V 0, 3

1IR^β V 1, 3

2R^β V 0, 3

2R^β V 1, 3

2R^β V 2, 3

2IR^β V 3, 3
278

1P^α V 2, 4

1I^α V 0, 2

2I^α H 5, 1
279

2P^β H 5, 1

2I^α V 1, 3

2I^β H 0, 0
27B

2I^β V 1, 5

2R^α H 5, 0
289

1P^β H 0, 2

1P^β V 0, 4

1P^β V 1, 4

1R^β H 0, 1

1IR^α V 0, 1

2IR^α V 3, 3
28A

2P^β H 3, 2

2I^β V 1, 3

2I^β V 2, 3

2I^β V 3, 3
28B

2P^β H 3, 1

2I^β H 3, 1

2IR^α V 1, 5

2IR^β H 3, 2
29A

2P^α H 0, 3

2P^β V 2, 2

2P^β V 3, 2

2R^α H 0, 0
345

1I^β H 2, 1

2P^α H 2, 0

2IR^α H 0, 1
346

1P^α H 0, 2

1P^α V 0, 3

1P^α V 1, 3

1R^α H 0, 1

2P^α V 1, 1

2I^α H 4, 3

2I^α V 2, 5

2I^β H 0, 3

2IR^β H 4, 2
347

1P^α H 0, 1

1I^α V 2, 3

1R^α H 0, 2

1R^α V 2, 2

2R^α V 2, 1
348

1I^α H 3, 1

2P^α H 2, 1

2R^β V 0, 4

2R^β V 1, 4
349

1P^α V 1, 5

1P^α V 2, 5

1I^α V 0, 1

1I^α V 1, 1

2R^α H 1, 2
34A

1P^α V 3, 5

1I^α V 2, 1

1R^α V 0, 2

1R^α V 1, 2

2I^α H 4, 2

2IR^α V 0, 3
34B

1P^α H 1, 3

1I^α V 0, 4

1R^α H 3, 2
356

2R^α V 0, 5

2R^β H 3, 3
357

1P^α H 0, 0

1I^α H 0, 0

1R^α H 0, 3

1IR^α H 3, 0

2IR^β H 1, 0
358

1I^α H 3, 0

1R^α V 0, 5

2P^α H 5, 0

2R^α H 3, 1

2R^α V 1, 2

2IR^β H 1, 1
359

1IR^α H 3, 1

2R^α V 0, 2
367

1P^α V 2, 3

1I^α H 0, 1
368

1P^α H 2, 1

2P^β H 0, 1

2R^β H 0, 2
369

2P^α V 2, 1

2I^α V 3, 5

2IR^β H 4, 1
36B

2P^β V 0, 1

2I^β V 2, 1

2I^β V 3, 1
378

1P^α H 2, 2

2I^α H 1, 2

2IR^α H 5, 1
379

1P^α H 2, 3

1I^β V 1, 3

1I^β V 2, 3

2IR^β H 4, 0
37A

2P^α H 1, 3

2R^α H 2, 3
37B

2R^α V 3, 1

2IR^α V 3, 1
389

1R^β V 2, 1

1IR^α V 1, 1

1IR^α V 2, 1

1IR^β V 3, 5

2P^α V 0, 3

2I^α V 3, 3
38A

2P^β H 3, 3

2P^β V 2, 5

2R^β V 2, 4

2IR^β H 1, 2

2IR^β V 0, 2
38B

1R^β V 0, 1

1R^β V 1, 1

1IR^β V 1, 5

1IR^β V 2, 5

2P^β V 1, 5
456

1R^β H 3, 3

2P^β V 0, 4

2I^β V 0, 4
45A

1IR^α V 0, 2

1IR^α V 1, 2

2R^α H 2, 1

2R^α V 1, 3
467

1I^α H 0, 2

1I^α V 0, 3

1I^α V 1, 3

1R^β H 3, 2

1IR^β H 1, 2

2P^α H 4, 3

2P^α V 2, 5

2P^β H 0, 3

2I^α V 1, 1

2R^β H 0, 0
468

1P^α H 3, 3

1I^α H 4, 2

1IR^α H 2, 1

2P^β H 0, 2

2I^β H 1, 1

2R^β H 0, 1
469

1I^α H 0, 3

1IR^α H 3, 3

1IR^β H 1, 1

2I^β H 1, 0

2R^α H 1, 3
46A

1I^α H 4, 1

1IR^α H 2, 2

2R^β H 1, 3
46B

2P^β V 1, 1

2I^β V 1, 1

2R^β H 1, 2

2R^β V 0, 2

2IR^β V 2, 4
478

1I^α H 4, 3

1IR^α H 2, 0

2R^α V 3, 2
479

1IR^β V 1, 4

2R^β H 2, 0

2IR^α H 2, 2
47B

1R^β V 2, 4

1IR^β V 0, 2

2P^β V 2, 1

2P^β V 3, 1

2I^β V 0, 1

2IR^α H 2, 3
48A

1IR^α V 1, 4

2I^β V 0, 3

2IR^β H 1, 3
49A

1P^β V 0, 5

1P^β V 1, 5

1I^β V 0, 1

1IR^α V 2, 4

1IR^α V 3, 4

1IR^β H 1, 0

2IR^α H 2, 1

2IR^α V 1, 3
4AB

1R^α V 2, 4

1R^α V 3, 4

1R^β H 1, 0

2R^α V 0, 3
567

1P^β H 2, 1

2I^α H 2, 0
568

1P^α H 2, 0

2I^α H 1, 0

2I^β H 1, 2

2IR^α H 5, 3
56A

1I^α H 4, 0

1IR^α H 2, 3

2P^α H 3, 0

2P^β V 1, 4

2P^β V 2, 4
56B

1P^β H 2, 0

1IR^α V 2, 5

1IR^α V 3, 5
578

1P^β H 2, 2

1I^β H 4, 2

1IR^β H 2, 1
57A

1I^β H 4, 3

1IR^β H 2, 0

2I^β H 4, 3

2R^α H 2, 2

2IR^β H 2, 0
589

1I^α H 1, 0

1IR^α H 5, 3
58A

1I^β V 2, 2

2IR^α H 1, 3
58B

2I^β H 1, 3

2R^β H 4, 1
59B

1P^α H 5, 0

1R^α V 3, 1

2IR^α V 0, 2
5AB

2I^α H 0, 0

2IR^α H 1, 2
678

1R^β H 3, 1

1R^β H 4, 2

1IR^β H 1, 3

2I^α H 1, 1

2R^α H 5, 2

2IR^α H 5, 2
67A

2P^α V 1, 5

2I^α V 0, 1

2IR^α V 3, 2
67B

1P^α V 0, 4

1I^α H 1, 3

1IR^α H 5, 0

2R^α H 5, 1
689

1I^α H 1, 1

1I^β H 3, 3

1R^β H 4, 1

1IR^α H 5, 2

1IR^α V 1, 3

1IR^α V 2, 3

1IR^β H 0, 3

2P^α V 3, 1

2R^α H 5, 3
68A

1IR^α H 1, 2

2IR^β H 0, 1
68B

1I^α H 1, 2

1I^α V 3, 2

1IR^α H 5, 1

1IR^β H 0, 2

2P^α H 2, 3

2P^α V 2, 4

2I^α V 0, 2

2IR^β H 0, 2
69A

1IR^α H 1, 1

2IR^α V 2, 2
69B

2R^β H 1, 1

2IR^α H 3, 1

2IR^α V 1, 2
6AB

2IR^β V 0, 4

2IR^β V 1, 4
789

1P^β H 1, 2

1P^β H 2, 3

1I^β H 4, 1

1R^β H 5, 1

1IR^β H 2, 2

1IR^β V 0, 4
78A

1P^α H 5, 3

1R^β H 3, 0

2I^α H 5, 2

2IR^β H 0, 0
78B

1P^α H 5, 2

1P^α V 1, 4

2P^α V 1, 4

2P^β V 0, 5
79A

1P^β H 1, 3

1I^β H 5, 1

1R^β H 5, 0

1IR^α H 1, 0
79B

1P^α H 5, 1

2R^β H 1, 0
7AB

2P^α V 0, 4

2IR^α V 2, 1
89A

1P^β H 0, 3

1I^β H 3, 2

1I^β V 3, 2

1R^β H 0, 0

1R^β H 4, 0

2I^α H 5, 3
89B

1I^β H 4, 0

1IR^β H 2, 3

1IR^β V 0, 5

2I^β H 3, 0

2IR^α V 0, 5

2IR^β H 3, 3
8AB

1I^β H 0, 0

1IR^α H 4, 3

2R^β H 4, 2
9AB

1I^β H 5, 0

2P^α H 0, 2

2R^α H 0, 1

Tetrachords (130)

0123

1I^β H 1, 2

2P^α H 5, 2
0124

1P^β H 3, 2

1R^α H 2, 0

1R^β H 1, 2

1IR^β H 3, 1

2IR^β H 5, 1
0128

1I^β H 0, 2

1IR^β H 4, 2
012A

1P^β H 3, 1

1IR^β H 3, 0

2R^β H 5, 1
013A

1P^β H 5, 1

1R^β H 2, 0
013B

1P^β H 5, 0

1R^β H 2, 1
014B

1R^β V 0, 4

2R^α H 4, 2
0159

2IR^β V 1, 1

2IR^β V 2, 1
0167

1P^α V 0, 1

1P^α V 1, 1

1I^α V 1, 5

1I^α V 2, 5
016A

1P^β V 0, 1

1P^β V 1, 1

1P^β V 2, 1

1I^β V 0, 5

1I^β V 1, 5
0179

1I^β H 5, 2

1IR^β H 5, 2

2R^α V 0, 4
017B

1R^α H 4, 0

1IR^β H 5, 1
019B

1R^β H 2, 2

2P^β H 2, 0
01AB

1P^β H 3, 0

1IR^β H 5, 0

2I^α H 0, 1

2IR^α H 1, 0
023B

1I^α H 5, 2

1R^α H 5, 2

1R^α V 0, 3

2I^α V 0, 4
024A

1R^α H 2, 1

2P^α V 1, 2
0258

1P^β V 0, 2

1P^β V 1, 2

1I^β V 2, 4
0268

1R^β V 0, 3

1R^β V 1, 3

1IR^β V 0, 3

1IR^β V 1, 3

2P^β V 0, 3

2R^β V 0, 3

2R^β V 1, 3

2R^β V 2, 3

2IR^β V 0, 3

2IR^β V 1, 3

2IR^β V 2, 3
0278

2I^β H 3, 2

2IR^β H 3, 0
0289

1P^β H 0, 1

1R^β H 0, 1
028B

2I^β H 3, 1

2IR^β H 3, 1
029A

2P^β H 5, 2

2R^β H 5, 2
029B

1P^β H 0, 0

1R^α H 5, 1

1R^β H 0, 2
02AB

1R^α H 1, 1

1IR^β H 4, 0
0346

2P^α V 0, 1

2I^α V 1, 5
0356

1IR^α V 0, 5

2R^α V 0, 5

2R^β H 3, 2
0378

2I^α H 1, 2

2IR^α H 5, 0
0456

1P^α H 4, 0

2I^β V 0, 4
045A

2P^β H 4, 1

2I^β V 1, 4

2I^β V 2, 4

2R^α V 1, 3
046B

2R^β V 0, 2

2IR^β V 2, 4
049A

1P^β V 0, 5

1P^β V 1, 5

1I^β V 0, 1

1I^β V 1, 1

1I^β V 2, 1

2IR^α H 2, 0
04AB

1R^α V 1, 4

2R^β V 1, 2

2R^β V 2, 2
056A

2P^β V 1, 4

2P^β V 2, 4

2I^β H 4, 1

2R^α V 2, 3

2IR^β H 2, 1
056B

1R^α V 0, 1

1IR^α V 1, 5
057A

2I^β H 4, 2

2IR^β H 2, 0
059A

2R^β V 1, 5

2IR^β V 0, 1
059B

1R^α V 1, 1

1R^α V 2, 1

1R^β V 0, 5

1R^β V 1, 5

1R^β V 2, 5

1IR^β V 0, 1

1IR^β V 1, 1

2P^α H 0, 0

2R^α H 0, 2
0679

1P^α V 2, 1

2P^α H 4, 1
068A

1IR^α H 1, 2

2I^α V 1, 2
068B

1IR^β H 0, 1

2P^α V 2, 4

2I^α V 0, 2
069A

2I^β H 4, 0

2IR^β H 2, 2
069B

2P^β H 2, 1

2IR^α H 3, 0
079A

1I^β H 5, 1

1R^α H 4, 2
09AB

1I^β H 3, 0

2P^α H 0, 1

2R^α H 0, 1
1234

1IR^β H 3, 2

2R^α H 1, 0
1235

1P^β H 4, 1

1I^β H 2, 2
123B

1P^β H 4, 0

1I^α H 5, 1
1245

1P^α H 1, 0

1IR^α H 0, 1
1247

2I^α V 2, 1

2IR^β H 5, 0
124B

1P^α H 1, 1

1R^β H 1, 1
1258

1I^β V 0, 4

1I^β V 1, 4
1259

2R^β V 1, 1

2R^β V 2, 1
1279

2P^β H 5, 0

2I^α V 0, 3
128B

2P^β H 3, 0

2IR^α V 1, 5
1346

1P^α H 0, 2

1R^α H 0, 0
1349

1P^α V 0, 5

2R^α H 1, 1
134A

1I^α V 2, 1

2I^α H 4, 1

2R^α V 0, 1
135B

1I^α H 5, 0

1R^α H 3, 0
1368

2P^β H 0, 0

2R^β H 0, 2
1379

1P^β V 0, 3

1I^β V 0, 3
1389

2P^α V 0, 3

2I^β H 5, 0
145A

1IR^α V 0, 2

1IR^α V 1, 2
1467

2P^α V 2, 5

2I^α V 1, 1
1479

1R^β V 0, 2

1IR^β V 1, 4

1IR^β V 2, 4
147B

1R^β V 1, 4

1R^β V 2, 4

1IR^β V 0, 2
14AB

2I^β H 2, 1

2IR^α V 0, 1
15AB

2I^α H 0, 0

2IR^α H 1, 1
1789

1P^β H 1, 1

1R^β H 5, 1

1IR^α H 4, 0
178B

1P^β H 1, 0

1R^β H 5, 2

2R^α V 2, 4
18AB

1I^β H 0, 0

1IR^α H 4, 2
2345

1I^β H 2, 1

2P^α H 1, 0

2IR^α H 0, 1
2346

1P^α H 4, 2

2I^β H 0, 2

2IR^β H 4, 2
2347

1I^α H 2, 1

1R^α V 2, 2

2P^α H 1, 1
2348

1P^α V 0, 2

1I^α H 3, 1
234A

1R^α H 2, 2

2IR^β V 1, 2

2IR^β V 2, 2
234B

1P^α H 1, 2

1I^α V 0, 4

1R^α H 3, 2

2I^α V 1, 4
2358

1R^α V 0, 5

2P^α H 5, 0

2R^α H 3, 0
237A

2P^α H 1, 2

2IR^α H 4, 1
2389

1R^α V 1, 5

1IR^α V 0, 1

2I^α V 2, 3
238A

2P^β H 3, 2

2R^β V 2, 4

2IR^β V 0, 2
2457

1I^α H 2, 0

1IR^α H 0, 0
2459

2R^β V 0, 1

2IR^β V 1, 5
2468

1P^α H 3, 2

1I^α H 3, 2
2479

2I^β H 0, 0

2R^β H 2, 0
2489

2P^β V 0, 2

2R^β H 2, 1

2IR^α V 2, 3
248B

1P^α V 1, 2

1P^α V 2, 2
249A

2P^β V 1, 2

2IR^α V 1, 3
24AB

1R^β H 1, 0

2P^α V 0, 2

2I^α V 2, 4
2567

1P^α H 3, 0

2I^α H 2, 0
2589

1P^β V 0, 4

1P^β V 1, 4
258A

1P^β V 2, 4

1I^β V 0, 2

1I^β V 1, 2
2678

1P^α H 3, 1

1I^α V 0, 2
267B

2I^α H 2, 1

2R^α H 5, 0
268B

1I^α V 1, 2

1I^α V 2, 2
289A

1P^β H 0, 2

1R^β H 0, 0
289B

2I^β H 3, 0

2IR^α V 0, 5

2IR^β H 3, 2
29AB

2P^α H 0, 2

2R^α H 0, 0
3457

1P^α H 0, 0

1R^α H 0, 2
3458

1I^α H 3, 0

2P^α H 2, 0

2R^α V 1, 2
345B

1I^β H 2, 0

1R^α H 3, 1
3467

1P^α H 0, 1

1P^α V 0, 3

1P^α V 1, 3

1I^α H 0, 1

1I^α V 0, 3

1I^α V 1, 3

1R^α H 0, 1
3468

2P^β H 0, 1

2R^β H 0, 1
3469

2P^α V 1, 1

2I^α V 2, 5

2R^α H 1, 2

2IR^β H 4, 1
346B

2P^β V 0, 1

2I^β V 1, 1
347A

1R^α V 0, 2

1R^α V 1, 2
348A

2R^β V 0, 4

2R^β V 1, 4

2IR^β H 1, 2
349A

1P^α V 1, 5

1P^α V 2, 5

1I^α V 0, 1

1I^α V 1, 1

2IR^α V 0, 3
3678

1P^α H 2, 1

2I^α H 1, 1

2IR^α H 5, 1
389B

1R^β V 0, 1

1R^β V 1, 1

1IR^α V 1, 1

1IR^α V 2, 1

1IR^β V 0, 5

1IR^β V 1, 5

1IR^β V 2, 5
456A

1I^α H 4, 0

1IR^α H 2, 2

2P^β V 0, 4
4678

1I^α H 4, 2

1R^β H 3, 1

1IR^α H 2, 0

1IR^β H 1, 2

2P^β H 0, 2

2R^β H 0, 0
4679

1I^α H 0, 2

1IR^β H 1, 1
467A

2P^α V 1, 5

2I^α V 0, 1
467B

2P^β V 1, 1

2I^β V 0, 1
468A

1I^α H 4, 1

1IR^α H 2, 1
46AB

2R^β H 1, 2

2IR^β V 0, 4

2IR^β V 1, 4
5678

1P^β H 2, 1

2I^α H 1, 0

2IR^α H 5, 2
5689

1I^α H 1, 0

1IR^α H 5, 2

1IR^α V 0, 3
5789

1P^β H 2, 2

1I^β H 4, 1

1IR^β H 2, 1
578A

1I^β H 4, 2

1IR^β H 2, 0
58AB

2R^β H 4, 1

2IR^α H 1, 2
6789

1R^β H 4, 1

2R^α H 5, 2
678A

1R^β H 3, 0

2IR^β H 0, 0
678B

1P^α V 0, 4

1I^α H 1, 2

1IR^α H 5, 0

2P^α V 1, 4

2R^α H 5, 1
679A

1IR^α H 1, 0

2IR^α V 2, 2
689A

1I^β H 3, 2

1R^β H 4, 0

1IR^α H 1, 1
689B

1I^α H 1, 1

1IR^α H 5, 1

1IR^β H 0, 2
789A

1P^β H 1, 2

1R^β H 5, 0

2I^α H 5, 2
789B

1P^α H 5, 1

1I^β H 4, 0

1IR^β H 2, 2
78AB

1P^α H 5, 2

2P^α V 0, 4

Pentachords (61)

0124A

1P^β H 3, 1

1R^α H 2, 0

1IR^β H 3, 0
01258

1P^β V 0, 2

1P^β V 1, 2

1I^β V 0, 4

1I^β V 1, 4
012AB

1P^β H 3, 0

1R^α H 1, 0

1IR^β H 4, 0
013AB

1P^β H 5, 0

1R^β H 2, 0
0147B

1R^β V 0, 4

1IR^β V 0, 2

2R^α H 4, 1
0159A

2R^β V 0, 5

2IR^β V 0, 1
015AB

2I^α H 0, 0

2IR^α H 1, 0
01679

1P^α V 0, 1

1P^α V 1, 1

1I^α V 0, 5
0169B

2P^β H 2, 0

2IR^α H 3, 0
0179B

1IR^β H 5, 1

2R^α V 0, 4
017AB

1R^α H 4, 0

1IR^β H 5, 0
0234A

1R^α H 2, 1

2P^α V 1, 2
0278B

2I^β H 3, 1

2IR^β H 3, 0
0289A

1P^β H 0, 1

1R^β H 0, 0
0289B

1P^β H 0, 0

1R^β H 0, 1

2I^β H 3, 0

2IR^β H 3, 1
029AB

2P^α H 0, 1

2R^α H 0, 0
03469

2P^α V 0, 1

2I^α V 1, 5
03678

2I^α H 1, 1

2IR^α H 5, 0
0456A

2P^β V 0, 4

2I^β V 0, 4

2R^α V 1, 3
046AB

2R^β V 0, 2

2IR^β V 0, 4

2IR^β V 1, 4
0567A

2I^β H 4, 1

2IR^β H 2, 0
0569A

2I^β H 4, 0

2IR^β H 2, 1
059AB

2P^α H 0, 0

2R^α H 0, 1
0689A

1I^β H 3, 1

1IR^α H 1, 1
0689B

1IR^β H 0, 1

2P^β H 2, 1
068AB

1IR^β H 0, 0

2I^α V 0, 2
079AB

1I^β H 5, 0

1R^α H 4, 1
12345

1I^β H 2, 1

1IR^α H 0, 1
1235B

1P^β H 4, 0

1I^α H 5, 0
12459

2R^β V 0, 1

2IR^β V 0, 5
124AB

1R^β H 1, 0

2I^β H 2, 1
128AB

1I^β H 0, 0

2P^β H 3, 0
13467

1P^α H 0, 1

1R^α H 0, 0
13468

2P^β H 0, 0

2R^β H 0, 1
1349A

1P^α V 0, 5

1I^α V 0, 1

1I^α V 1, 1
1456A

1IR^α V 0, 2

1IR^α V 1, 2
1467A

2P^α V 1, 5

2I^α V 0, 1
14789

1R^β V 0, 2

1IR^β V 0, 4
1789A

1P^β H 1, 1

1R^β H 5, 0

1IR^α H 4, 0
1789B

1P^β H 1, 0

1R^β H 5, 1

2R^α V 1, 4
23457

1I^α H 2, 0

2P^α H 1, 0
2345B

1I^β H 2, 0

1R^α H 3, 1
2347A

1R^α V 0, 2

1R^α V 1, 2

2P^α H 1, 1
2348A

2R^β V 0, 4

2R^β V 1, 4

2IR^β V 0, 2
2348B

1P^α V 0, 2

1I^α V 0, 4
2489A

2P^β V 0, 2

2IR^α V 1, 3
2589A

1P^β V 0, 4

1P^β V 1, 4

1I^β V 0, 2

1I^β V 1, 2
2678B

1P^α V 0, 4

1I^α V 0, 2

2R^α H 5, 0
34567

1P^α H 0, 0

1I^α H 0, 0

1R^α H 0, 1
34678

2P^β H 0, 1

2R^β H 0, 0
34679

1I^α H 0, 1

2IR^β H 4, 0
3467B

2P^β V 0, 1

2I^β V 0, 1
35678

1P^α H 2, 0

2I^α H 1, 0

2IR^α H 5, 1
4568A

1I^α H 4, 0

1IR^α H 2, 1
4678A

1I^α H 4, 1

1R^β H 3, 0

1IR^α H 2, 0
5689B

1I^α H 1, 0

1IR^α H 5, 1
5789A

1I^β H 4, 1

1IR^β H 2, 0
5789B

1P^α H 5, 0

1I^β H 4, 0

1IR^β H 2, 1
6789A

1R^β H 4, 0

1IR^α H 1, 0
6789B

1I^α H 1, 1

1IR^α H 5, 0

2R^α H 5, 1
678AB

2P^α V 0, 4

2IR^β H 0, 0

Hexachords (35)

01234A

1R^α H 2, 0

1IR^β H 3, 0
012358

2P^α H 5, 0

2R^α H 3, 0
01235B

1P^β H 4, 0

1I^α H 5, 0
01239B

1I^β H 1, 0

1R^α H 5, 0
0124AB

1P^β H 3, 0

1R^β H 1, 0
01279A

2P^β H 5, 0

2R^β H 5, 0
0128AB

1I^β H 0, 0

1R^α H 1, 0

1IR^β H 4, 0
0139AB

1P^β H 5, 0

1R^β H 2, 0
0158AB

2I^α H 0, 0

2IR^α H 1, 0
0179AB

1I^β H 5, 0

1R^α H 4, 0

1IR^β H 5, 0
023459

2I^α H 3, 0

2IR^α H 0, 0
0234AB

2P^α V 0, 2

2I^α V 0, 4
0259AB

2P^α H 0, 0

2R^α H 0, 0
02789B

2I^β H 3, 0

2IR^β H 3, 0
0289AB

1P^β H 0, 0

1R^β H 0, 0
034689

2P^α V 0, 1

2I^α V 0, 5
035678

2I^α H 1, 0

2IR^α H 5, 0
05679A

2I^β H 4, 0

2IR^β H 2, 0
06789A

1R^β H 4, 0

1IR^α H 1, 0
0678AB

2P^α V 0, 4

2I^α V 0, 2
0689AB

1I^β H 3, 0

1IR^β H 0, 0
123457

1I^α H 2, 0

1IR^α H 0, 0
12345B

1P^α H 1, 0

1I^β H 2, 0

1R^α H 3, 0
123789

2P^α V 0, 3

2I^α V 0, 3
12467A

2P^α V 0, 5

2I^α V 0, 1
134567

1P^α H 0, 0

1R^α H 0, 0
134678

2P^β H 0, 0

2R^β H 0, 0
1347AB

2R^α V 0, 1

2IR^α V 0, 1
1789AB

1P^β H 1, 0

1R^β H 5, 0

1IR^α H 4, 0
23457A

2P^α H 1, 0

2R^α H 2, 0
234679

2I^β H 0, 0

2IR^β H 4, 0
345679

1I^α H 0, 0

1IR^α H 3, 0
45678A

1I^α H 4, 0

1R^β H 3, 0

1IR^α H 2, 0
56789B

1P^β H 2, 0

1I^α H 1, 0

1IR^α H 5, 0
5789AB

1P^α H 5, 0

1I^β H 4, 0

1IR^β H 2, 0

© 2006 Paul Lombardi & Michael Wester

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